Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

$U_1$, $U_2$, $U_3$, $\ldots$, $U_1=U_2=1$ тізбегінде үшінші мүшесінен бастап оған дейінгі мүшелерінің квадраттарының қосындысына тең екені белгілі. $U_{2003}$ мүшесі 7-ге қалдықсыз бөліне ма?

Комментарий/решение

$U_n=\{1,1,2,5,29,866,750797,563696885165,\ldots\}$

Рассмотрим следующую последовательность:

$U_n \pmod{7} = \{1,1,2,5,1,5,5,1,\ldots \}$

Легко заметить, что в данной последовательности нет нулевых остатков, значит $7\nmid U_{2003}$.