Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2017 жыл

$A=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}$ және $B=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}$ болсын. $A$ мен $B$ сандарын салыстырыңыз.

Комментарий/решение

$$A-B=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=$$

$$=\frac{(a-b)\left( a^2+ab+b^2\right) }{a^2+ab+b^2}+\frac{(b-c)\left( b^2+bc+c^2\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c-a)\left( c^2+ca+a^2\right)}{c^2+ca+a^2}=$$

$$=a-b+b-c+c-a=0 \Rightarrow A=B$$