Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

$ABCD$ трапециясында $AB \parallel CD$, ал $\omega_1$ және $\omega_2$ — диаметрлері сәйкесінше $AD$ және $BC$ болатын шеңберлер. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінен сәйкесінше кез келген $X$ және $Y$ нүктелері алынған. $XY$ кесіндісінің ұзындығы трапецияның жартыпериметрінен артық емес екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$$\omega_1: AD=2R_1=2\cdot TO_1$$

$$ \omega_2: BC=2R_2=2\cdot KO_2$$

$$\square ABCD: O_1O_2=\frac{AB+CD}{2}$$

$$XY<TK=TO_1+O_1O_2+O_2K=R_1+O_1O_2+R_2=$$ $$=\frac{AD}{2}+\frac{AB+DC}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}=\frac{S_{\square ABCD}}{2} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow XY<\frac{S_{\square ABCD}}{2} $$