2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, вторая лига, 9-10 классы

a) Существуют ли 5 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
b) Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?

Комментарий/решение

$a)$ Нет.

За $O_i \rightarrow O_j$ будем принимать то, что $O_j$ не лежит на окружности с центром $O_i$.

$(1)$Нет точек $O_i,O_j$ таких, что $O_i \rightarrow O_j$ и $O_j \rightarrow O_i$ :

Это случается из-за того, что тогда оставшиеся точки $O_k,O_l,O_m$ лежат на окружности с центром в точке $O_i$ и на окружности с центром в точке $O_j$, что невозможно, так как у треугольника только один центр описанной окружности.

$(2)$Нет точек $O_i,O_j,O_k,O_l$ таких, что $O_i \rightarrow O_k$ и $O_j \rightarrow O_k$ , а $O_k \rightarrow O_l$:

Пусть оставшаяся точка - $O_m$. Тогда $O_j,O_l,O_m$ лежат на окружности с центром $O_i$ и $O_i,O_l,O_m$ лежат на окружности с центром $O_j.$

Но тогда получается, что $O_iO_j=O_iO_l=O_iO_m=O_jO_m=O_jO_l$, то есть $O_l \rightarrow O_m$ и $O_m \rightarrow O_l$ , что невозможно по $(1)$.

Поэтому $\forall O_i \exists ! O_j: O_i \rightarrow O_j$ и $\forall O_i \exists ! O_k: O_k \rightarrow O_i$ $(2)$.

Значит систему равенств отрезков можно переделать в "циклы".

При этом нужно учитывать, что циклы из 3 или 4 точек невозможны (то есть $O_i \rightarrow O_j \rightarrow O_k \rightarrow O_i$ и $O_i \rightarrow O_j \rightarrow O_k \rightarrow O_l \rightarrow O_i$) по $(1)$. Тогда остается цикл $O_i \rightarrow O_j \rightarrow O_k \rightarrow O_l \rightarrow O_m \rightarrow O_i$, что невозможно, так как в таком случае расстояния между любыми двумя точками попарно равны, что невозможно.

$b)$ ответ здесь