қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год
Дан выпуклый n-угольник $M$. Пусть $k$ – наименьшее число точек, которое можно отметить внутри $M$ так, чтобы внутри любого пятиугольника, вершины которого являются вершинами $M$, оказалось ровно 3 точки из отмеченных. Докажите, что $k\ge n-2$. («внутри» означает строго внутри, не на границе)
(
Ильясов С.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Любой $n=3m+2$ -угольник, $m\ge 2$, можно разбить на выпуклые пятиугольники, что легко можно видеть на примере 11-угольника. Каждый следующий 5-угольник после первого использует 2 уже задействованные вершины и 3 новые. Тогда количество пятиугольников равно $1+\frac{3m+2-5}{3}=m$. Тогда $k\ge 3m=n-2$.
Любой $ n=3m+3$ -угольник, $m\ge 2$, можно разбить на треугольник и $3m+2$-угольник. Значит, $k\ge 3m=n-3$. Если хотя бы один из треугольников, состоящих из трех подряд идущих вершин, содержит хотя бы одну точку (возможно даже на ребре внутри $M$), то $k\ge n-2$. Если же ни один из них не содержит ни одной точки, то треугольники ${{A}_{1}}{{A}_{3}}{{A}_{5}}$ и ${{A}_{1}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n-3}}$ должны содержать внутри себя по 3 точки 5-угольников ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}}{{A}_{5}}$ и ${{A}_{1}}{{A}_{n}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n-2}}{{A}_{n-3}}$ соответственно. Тогда 5-угольник ${{A}_{1}}{{A}_{3}}{{A}_{5}}{{A}_{n-3}}{{A}_{n-1}}$ содержит 6 точек, что противоречит условию.
Аналогично для $n=3m+4$ -угольника, $m\ge 2$: хотя бы один крайний треугольник содержит точку, а оставшийся $3m+3$-угольник должен содержать не менее $n-3$ точек.
Замечание. Можно найти пример для $k=n-2$, удовлетворяющий всем условиям.
Для случая правильного шестиугольника k=3 подходит когда все точки возле центра.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.