Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год


$М$ – дөңес $n$ бұрышты көпбұрышы берілген. Төбелері $M$-ң төбелерінде болатын кез-келген бесбұрыштың ішінде белгіленген дәл 3 нүкте жататындай етіп, $M$-ң ішіне белгілеуге болатын нүктелердің ең аз саны $k$ болсын. $ k \geq n-2$ болатынын дәлелдеңіз. ( Ильясов С. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Любой $n=3m+2$ -угольник, $m\ge 2$, можно разбить на выпуклые пятиугольники, что легко можно видеть на примере 11-угольника. Каждый следующий 5-угольник после первого использует 2 уже задействованные вершины и 3 новые. Тогда количество пятиугольников равно $1+\frac{3m+2-5}{3}=m$. Тогда $k\ge 3m=n-2$.


Любой $ n=3m+3$ -угольник, $m\ge 2$, можно разбить на треугольник и $3m+2$-угольник. Значит, $k\ge 3m=n-3$. Если хотя бы один из треугольников, состоящих из трех подряд идущих вершин, содержит хотя бы одну точку (возможно даже на ребре внутри $M$), то $k\ge n-2$. Если же ни один из них не содержит ни одной точки, то треугольники ${{A}_{1}}{{A}_{3}}{{A}_{5}}$ и ${{A}_{1}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n-3}}$ должны содержать внутри себя по 3 точки 5-угольников ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}}{{A}_{5}}$ и ${{A}_{1}}{{A}_{n}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n-2}}{{A}_{n-3}}$ соответственно. Тогда 5-угольник ${{A}_{1}}{{A}_{3}}{{A}_{5}}{{A}_{n-3}}{{A}_{n-1}}$ содержит 6 точек, что противоречит условию.
Аналогично для $n=3m+4$ -угольника, $m\ge 2$: хотя бы один крайний треугольник содержит точку, а оставшийся $3m+3$-угольник должен содержать не менее $n-3$ точек.
Замечание. Можно найти пример для $k=n-2$, удовлетворяющий всем условиям.

  3
2019-11-13 09:14:57.0 #

Для случая правильного шестиугольника k=3 подходит когда все точки возле центра.

  0
2022-12-21 16:55:32.0 #

+++

Тоже опровергнул

  0
2023-03-30 21:40:40.0 #

ок