Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

$\{a_n\}$ сандар тізбегі келесі шартты қанағаттандырады: $a_1=1$ және барлық натурал $n \ge 1$ үшін $ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}+1.$ $a_{129}$ саны нешеге тең?

Комментарий/решение

$a_{n+1} = \sqrt{a^2_{n}-2a_{n}+3}+1=\sqrt{(a_{n}-1)^2+2}+1$

$(a_{n+1}-1)^2-(a^2_{n}-1) ^2=2$

Получаем арифметическую прогрессий где $x_{1}=1-1=0, \ d=2$

Значит $x_{129}=x_{1}+128d = 128 \cdot 2 = 256$

Откуда $a_{129}=\sqrt{256}+1=17$