Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Треугольник $ABC$ — правильный. Точка $M$ лежит внутри $\angle ABC$, причем $\angle AMB=30^\circ$. Пусть прямые $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$. Найдите углы $\angle MAB$ и $\angle MCB$, если известно, что $\triangle MKC$ подобен $\triangle MCB$.

Комментарий/решение

.

.

Жауабы: $\angle MAB=130°$, $\angle MCB=100°$

$\angle ACB=2\angle AMB$ болғандықтан $\triangle MAB$ үшбұрышы центрі $C$-болатын шеңберге іштей сызылған, ал $AC=BC$ шеңбер радиустары болады.

$\triangle MKC$ және $\triangle MCB$ ұқсас болғандықтан $\angle MCK=\angle MBC=y°$

Ал $\angle ABM=\frac{\angle ACM}{2}=\frac{y°}{2}$

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC$$

$$60°=\frac{y°}{2}+y°$$

$$y°=40°$$

$$\angle MCB=\angle MCK+\angle KCM=40°+60°=100°$$

Енді $BM$ доғасынан $A$ нүктесі тиісті емес бөлігінен $D$ нүктесін аламыз. Сонда

$$\angle MDB=\frac{\angle MCB}{2}=50°$$

$A, B, D, M$ бір шеңберге тиісті. Сол себепті $ABDM$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған.

$\angle MAB=180°-50°=130°$