Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Два игрока играют на доске $1998\times 1998$. Первоначально все клетки доски белые. За один ход игрок может:
а) покрасить белую клетку в черный цвет, или
б) если в каком-либо столбце или строке белых клеток больше чем черных, то все клетки того столбца или строки можно перекрасить в противоположный цвет.
Игрок, после хода которого вся доска станет черной, выигрывает. Кто победит при правильной игре (начинающий или второй игрок)?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что значение выражения $(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{12}^2 )a_1^2 a_2^2 \dots a_{12}^2 $ делится на 12 при любых целых $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{12}$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В левом нижнем квадрате $19 \times 19$ доски $98 \times 99$ стоит 361 белая шашка, а в правом верхнем квадрате $19 \times 19$ той же доски стоит 361 черная шашка. За один ход разрешается переставить любую шашку на симметричное ей относительно любой другой шашки поле, если это поле свободно. Можно ли за конечное число ходов поменять местами черные шашки с белыми?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Треугольник $ABC$ — правильный. Точка $M$ лежит внутри $\angle ABC$, причем $\angle AMB=30^\circ$. Пусть прямые $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$. Найдите углы $\angle MAB$ и $\angle MCB$, если известно, что $\triangle MKC$ подобен $\triangle MCB$.
комментарий/решение(3)

Задача №5. На диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ произвольным образом выбрана точка $M$. Пусть $O_1$ и $O_2$ центры окружностей, описанных около треугольников $AMD$ и $CMD$, соответственно. Докажите, что $AO_1$ перпендикулярно $CO_2$.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Можно ли без наложений замостить доску размером $1998\times 1998$ плитками вида буквы "Г" состоящие из четырёх клеток?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Каждый день в течение одного квартала (92 дня) авиакомпания выполняла по десять рейсов. Причем за сутки каждый самолет выполнял не более одного рейса. Известно, что среди рейсов любых двух дней имеется один и только один самолет, летавший в эти дни. Докажите, что имеется самолет, летавший во все дни квартала.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Докажите, что не существует натуральных чисел $l$, $m$, $n$, удовлетворяющих уравнению: $n^2+m^3=m^l$.
комментарий/решение(4)