Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Каждый день в течение одного квартала (92 дня) авиакомпания выполняла по десять рейсов. Причем за сутки каждый самолет выполнял не более одного рейса. Известно, что среди рейсов любых двух дней имеется один и только один самолет, летавший в эти дни. Докажите, что имеется самолет, летавший во все дни квартала.

Комментарий/решение

Рассмотрим 10 самолетов, летавших в первый день. Хотя бы один из них должен был летать еще, по крайней мере, 10 дней (так как в каждый из оставшихся 91 день летал один из этих десяти самолетов).

Рассмотрим самолет, летавший не менее одиннадцати дней. Без ограничения общности можно считать, что это были дни с первого по одиннадцатый (и возможно еще какие-нибудь). Предположим, что есть день А , в который этот самолет не летал, тогда для каждого из первых одиннадцати дней и дня А найдется самолет, летавший в этот день и в день А . Для каких-то двух из одиннадцати дней (например, для первого и для второго) эти самолеты совпадут, поскольку в день A совершить более десяти рейсов невозможно. Получим противоречие: два самолета летало как в первый день, так и во второй.