Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Пусть $a_1$ и $a_2$ произвольные цифры. Для каждого натурального $n$ последнюю цифру числа $19a_{n+1}+99a_n$ в его десятичной записи обозначим через $a_{n+2}$. Докажите, что число $0,a_1a_2a_3 \dots $ — рациональное.

Комментарий/решение

$$ r=0,a_1a_2a_3...=0,a_1+0,0a_2+0,00a_3+...=$$

$$ = \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+...=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k}$$

$$ r\notin Q$$

$$19a_{n+1}+99a_n=k+\frac{c}{10} \Rightarrow a_{n+2}=c\in \left\{ 0,1,2,..9\right\}, \qquad k \in N$$

$$\Rightarrow \frac{19a_{n+1}+99a_n}{10^{n}}=\frac{k}{10^{n}}+\frac{c}{10^{n+1}} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{19a_{n+1}+99a_n}{10^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{k}{10^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c}{10^{n+1}} \Rightarrow$$

$$ 190 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{10^{n+1}}+99\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n}}_{=r}=k\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...\right) +c \left( \frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...\right)$$

$$ 190\left(r-\frac{a_1}{10}\right)+99r=\frac{k}{9}+\frac{c}{90}\Rightarrow$$

$$ 289r=\frac{k}{9}+\frac{c}{90}+19a_1 \Rightarrow$$

$$ r = \frac{1}{17^2}\left( \frac{k}{9}+\frac{c}{90}\right)+\frac{19}{17^2}a_1\in Q$$

Полученное противоречие означает, что $r\in Q$. Где, $Q-$ множество рациональных чисел