36-я Балканская математическая олимпиада. Кишенёв, Молдова, 2019 год


Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $X$ и $Y$ различные внутренние точки отрезка $BC$ такие, что $\angle CAX=\angle YAB$. Предположим, что
   1) Точки $K$ и $S$ — основания перпендикуляров из точки $B$ на прямые $AX$ и $AY$ соответственно;
   2) Точки $T$ и $L$ — основания перпендикуляров из точки $C$ на прямые $AX$ и $AY$ соответственно.
   Докажите, что прямые $KL$ и $ST$ пересекаются на прямой $BC$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2021-05-10 08:38:20.0 #

$БОО$ предположим что $X$ лежит между $Y$ и $C$ и $T,S$ снаружи $\triangle ABC$.

Пусть $KL\cap BC=M_1 , ST\cap BC=M_2$

По Теореме Менелая и По Теореме Синусов

$\frac{XM_1}{M_1Y}=\frac{YL}{LA} * \frac{AK}{KX}$

$=\frac{CY*cos(\angle{BAY}+\angle {B})}{AC*cos\angle{CAY}}* \frac{AB.cos\angle{BAX}}{BX.cos(\angle{CAX}+\angle {C})}$

$=\frac{AB*CY}{AC*BX}.\frac{cos(\angle{BAY}+\angle {B})}{cos(\angle{CAX}+\angle {C})}$

Также

$\frac{XM_2}{M_2Y}=\frac{YS}{SA} * \frac{AT}{TX} = \frac{BY*AC}{CX*AB}*\frac{cos(\angle {BAY}+\angle {B})}{cos(\angle {CAX}+\angle {C})}$

Откуда $\frac{XM_1}{M_1Y}=\frac{XM_2}{M_2Y} \Leftrightarrow \left( \frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BX}{XC}.\frac{BY}{YC}$

Это общеизвестное соотношение, поэтому $M_1=M_2$.