36-я Балканская математическая олимпиада. Кишенёв, Молдова, 2019 год


Задача №1.  Пусть $\mathbb{P}$ — множество всех простых чисел. Определите все функции $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$ такие, что $f{(p)^{f(q)}} + {q^p} = f{(q)^{f(p)}} + {p^q}$ для всех $p, q \in \mathbb{P}$.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $a,b,c$ — действительные числа такие, что $0 \le a \le b \le c$ и $a+b+c=ab+bc+ac>0$. Докажите, что $\sqrt{bc}(a+1) \ge 2.$ Определите все тройки $(a,b,c)$, для которых достигается равенство.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $X$ и $Y$ различные внутренние точки отрезка $BC$ такие, что $\angle CAX=\angle YAB$. Предположим, что
   1) Точки $K$ и $S$ — основания перпендикуляров из точки $B$ на прямые $AX$ и $AY$ соответственно;
   2) Точки $T$ и $L$ — основания перпендикуляров из точки $C$ на прямые $AX$ и $AY$ соответственно.
   Докажите, что прямые $KL$ и $ST$ пересекаются на прямой $BC$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дана решетка, состоящая из всех точек с координатами $(m,n)$, где $m$ и $n$ целые числа, такие, что $|m| \le 2019,$ $|n| \le 2019$ и $|m| + |n| < 4038.$ Назовем точку $(m,n)$ решетки граничной точкой, если $|m| = 2019$ или $|n| = 2019.$ Четыре прямые, определяемые уравнениями, $x = \pm 2019$ и $y = \pm 2019,$ назовем граничными прямыми. Две точки решетки назовем соседними, если расстояние между ними равно 1.
   Анна и Боб играют в следующую игру на этой решетке. Изначально у Анны есть фишка, находящаяся в точке $(0,0).$ Анна и Боб по очереди делают ходы, причем первым ходит Боб:
   a) На каждом своем ходе Боб удаляет не более двух граничных точек на каждой из граничных прямых;
   b) На каждом своем ходе Анна совершает ровно три шага, где шагом называется перемещение фишки из точки, в которой фишка находится сейчас, в любую соседнюю еще не удаленную точку.
   Как только фишка Анны достигнет граничной точки, которая не была удалена, игра в тот же момент заканчивается, и Анна признается победителем. Есть ли у Анны выигрышная стратегия?
комментарий/решение
результаты