Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер бойынан $P$ нүктесі таңдап алынған және осы нүктеден $AB$ және $BC$ түзулерге, табаңдары сәйкес $D$ және $E$ нүктелері болатын перпендикулярлар түсірілген. $P$ нүктесі $ABC$ үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің барлық нүктелерін айналып өткенде, пайда болған $PDE$ үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер центірлерінің геометриялық орнын табыңыздар.

Комментарий/решение

Несложно догадаться что четырехугольник РЕВD-вписанный. И центр окружности описанной около этого четырехугольника совпадает с центрами окружностей описанных около треугольников РDЕ и РЕВ. То есть центр описанной окружности треугольника РDЕ лежит на середине отрезка РВ, так как РЕ $\bot$ BC. Это же утверждение будет идентично для другой точки $Р_i$ которая пробегат все точки окружности.То есть если Г.м.т $Р$ пробегает по окружности то и г.м.т середин отрезков $P_j$B проходит через точки окружности радиус которого вдвое меньше радиуса окружности описанной около треугольника АВС.И эта окружность касается внутренним образом окружности описанной около АВС в точке В.