Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 9 сынып

$x+y+z=6$ және $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2-\dfrac{4}{xyz}$ теңдіктерді қанағаттандыратын оң нақты сандардың барлық $x$, $y$ және $z$ үштіктерін табыңдар.

Комментарий/решение

$Ответ: (2;2;2).$

Так как $6=x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$, тогда $8\geq xyz$. Всегда выполняется (использовал это неравенство и неравенство средних): $2=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{4}{xyz}\geq4\sqrt[4]{\dfrac{4}{(xyz)^2}} =4\sqrt[2]{\dfrac{2}{xyz}} \geq 4\sqrt{\dfrac{2}{8}} =2$. Равенство выполняется только при $x=y=z=2$.