Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 3-ші лига, 11-12 сыныптар

$\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $\omega_1$ шеңберіне $A$ нүктесінде жүргізілген жанама бойынан $\angle ABC = 90^\circ$ болатындай $C$ нүктесі белгіленген. $C$ нүктесі арқылы жүргізілген $\ell$ түзуі $\omega_2$-ні $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $AP$ және $AQ$ түзулері $\omega_1$-ді екінші рет сәйкесінше $X$ және $Z$ нүктелерінде қияды. $Y$ нүктесі — $A$-дан $\ell$-ге түсірілген перпендикуляр табаны. $X$, $Y$ және $Z$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$Утверждение$:$ABCY$ вписанный

$\angle AYC=\angle ABC=90^\circ$

$Утверждение$:$QBXY$ вписанный

$$\angle YQB=\angle PQB=\angle PAB=\angle ZAB=\angle ZXB=\angle YXB$$

$$\angle AXZ=\angle CAZ=\angle CAP=\angle ACP+\angle CPA =\angle ACY+\angle QPA=\angle QBA+\angle ABY=\angle QBY=\angle QXY$$

Что и завершает доказательство.