Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Треугольник $ABC$ удовлетворяет следующему условию: на отрезке $BC$ существует единственная точка $X$ такая, что $AX^2=BX\cdot CX.$ Докажите, что $AB+AC=BC \sqrt{2}.$

Комментарий/решение

Сначала проведем прямую $AX$ до пересечения с описанной окружностью в точке $Y.$ Тогда $BX*XC = AX*XY$ и $BX*XC = AX^2.$ Следовательно $$AX^2=AX*XY \Longrightarrow AX = XY$$

Теперь предположим что $AX$ не биссектриса $\angle BAC$. Проведем через точку $Y$ прямую параллельную $BC$ до пересечения с описанной окружностью в точке $Y_{1}.$ Пусть $AY_{1}$ пересекает $BC$ в точке $X_{1}.$

Так как $XX_{1}\parallel YY_{1}$ и $X$ середина $AY_{1},$ получаем, что $XX_{1}$ - серединная линия $\triangle AYY_{1}.$ Значит, кроме $X$ на отрезке $BC$ можно найти и ещё одну точку, удовлетворяющую условию, что противоречит условию. Следовательно, $AX$ - биссектриса $\angle BAC$

Заметим, что $\angle YCX=\angle YAB=\angle YAC$ и $\angle CYX=\angle AYC.$ Следовательно, $\triangle YCX$ подобен треугольнику $\triangle YAC \Longrightarrow YC^2 = YC * YA = AX * 2AX = 2AX^2.$ Но $YC=YB \Longrightarrow YC^2=YB^2=2AX^2.$ И, наконец, используя теорему Птолемея получаем: $$AB * YC + AC * YB = AY * BC \Longrightarrow YC(AB+AC)=2AX * BC \Longrightarrow \sqrt {2} * AX(AB+BC)=2AX*BC \Longrightarrow AB+BC=\sqrt{2} * BC$$

Вы рассмотрели частный случай. А если вдруг найдётся треугольник, удовлетворяющий условию, но не прямоугольный? Изменится ли доказательство тогда?

Если $YC=YX$ то углы $\angle YCX=\angle YXC$ а это противоречит твоему же слову, решению.

△$YCX $ подобен треугольнику △$YAC$⟹$YC^2=YC∗YA=AX∗2AX=2AX^2$

Сделаем гомотетию в точке $A$ с коэффициентом $2$. Тогда назовем $B'C'$ образом $BC$ после такой гомотетии. Заметим, что обе точки $B',C'$ лежат вне окружности $(ABC)$ и то, что $X$ переходит в точку $A'$ такую, что $AX*XA'=BX*XC$. Поэтому $A'$ лежит на окружности $(ABC)$, однако по условию такая точка единственная, то есть $B'C'$ касается $(ABC)$.

$$B'A'=\sqrt{B'B*B'A}=AB\sqrt{2}, C'A'=\sqrt{C'C*C'A}=AC\sqrt{2} \Rightarrow 2BC=AB\sqrt{2}+AC\sqrt{2}, AB+AC=BC\sqrt{2}.$$