қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. На олимпиаде по математике приняли участие 45 школьников. Участникам было предложено шесть задач, каждая из которых оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Докажите, что найдутся 3 участника, результаты которых отличаются не более, чем на 1 балл.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Треугольник $ABC$ удовлетворяет следующему условию: на отрезке $BC$ существует единственная точка $X$ такая, что $AX^2=BX\cdot CX.$ Докажите, что $AB+AC=BC \sqrt{2}.$
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. Для положительных действительных чисел $x,$ $y,$ $z$ выполнено равенство $2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z)=108.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $x^3 y^2 z.$
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, а точки $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ — середины сторон $BC,$ $AC,$ $AB$ соответственно. Пусть $K$ — точка, симметричная точке $B_1$ относительно прямой $BC$. Докажите, что прямая $C_1K$ делит отрезок $HA_1$ пополам.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Пусть каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей $a$ и $b$ в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности $1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ и $1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$. Найдите числа $a$ и $b$, если известно, что $a_{10}+b_{10}=a$ и $a_{11}+b_{11}=b$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Даны $n$ $(n \ge 2)$ гирь с массами $m_1,$ $m_2,$ $\ldots,$ $m_n,$ где $m_k$ — целое число такое, что $1 \le m_k\le k$ для всех $k=1,2,\ldots,n.$ Докажите, что если сумма $m_1+m_2+\ldots+m_n$ четна, то данные гири можно разбить на две группы с одинаковой суммарной массой.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)