Областная олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс

Пусть каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей $a$ и $b$ в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности $1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ и $1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$. Найдите числа $a$ и $b$, если известно, что $a_{10}+b_{10}=a$ и $a_{11}+b_{11}=b$.

Комментарий/решение

Из условия $b=a_{11}+b_{11}>b_{1}$ следует, что $$b\ge 2b_{11}$$ $(1)$

Аналогично $a\ge 2a_{10}.$ Откуда $b_{10}=a-a_{10}\ge a_{10}.$ Значит $$2b_{11}>2b_{10}\ge b_{10}+a_{10}=a\ge a_{11},$$ $(2)$

следовательно $$3b_{11}>b_{11}+a_{11}=b.$$ $(3)$

Из $(1)$ и $(3)$ получаем, что $b=2b_{11}$ и $b_{11}=a_{11}$. Используя $(2)$ получаем, что $a<2b_{11}=2a_{11},$ откуда $a=a_{11}.$ Значит у числа $a$ ровно $11$ делителей, а это возможно только $a=p^10$ для некоторого простого числа p.$b=2b_{11},$ то есть у числа $b$ ровно 12 делителей, что возможно только при $p=2$ (при $p\neq,$ у числа $b=2b_{11}=2p^10$ будет 22 делителя). Легко проверить, что числа $a=2^{10}$,$b=2^{11}$ удовлетворяют условию задачи.