Областная олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $BC.$ На отрезках $AC$ и $AB$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $AE\cdot BE=AD\cdot CD.$ Докажите, что $ME=MD.$
комментарий/решение(2)
Задача №2.  В колледже учатся 300 студентов. Любые два студента либо знают друг друга, либо не знают друг друга, и нет трех студентов, знающих друг друга. Известно, что каждый студент знает не более $n$ других студентов и для каждого $m$ $(1\le m \le n)$ существует студент, знающий ровно $m$ других студентов. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n \le 10$ с целыми коэффициентами такой, что для каждого $k\in \{1,2,\ldots,10\}$ существует целое число $m,$ что $P(m)=k.$ Докажите, что если $|P(10)-P(0)|<10000,$ то для любого $k \in \{1,2,\ldots,10000\}$ существует целое число $m$ такое, что $P(m)=k.$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей $a$ и $b$ в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности $1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ и $1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$. Найдите числа $a$ и $b$, если известно, что $a_{10}+b_{10}=a$ и $a_{11}+b_{11}=b$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Для любых положительных вещественных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство: $\dfrac{1}{x+y+1}-\dfrac{1}{(x+1)(y+1)} < \dfrac{1}{11}$.
комментарий/решение(3)
Задача №6.  В треугольнике $ABC$ окружность $\omega$ проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BC$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Биссектриса угла $BAD$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $M$, а прямые $BD$ и $ME$ пересекаются в точке $K$. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AM$, пересекает прямую $AC$ в точке $N$. Докажите, что $\angle BNK=\angle DNK$.
комментарий/решение(5)