17-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2021 год

На вечеринку пришли 99 гостей. Двое ведущих вечеринки, Анна и Боб, играют в следующую игру (ведущие не входят в число гостей). По кругу расставлены 99 стульев; изначально все гости ходят вокруг стульев. Ведущие делают ходы по очереди. За ход ведущий выбирает стоящего гостя и указывает ему свободный стул $c$, на который тот должен сесть; если хотя бы один стул, соседний с $c$, занят, то тот же ведущий велит одному гостю на стуле, соседнем с $c$, встать (если оба стула, соседних с $c$, заняты, ведущий выбирает один из них). Все указания исполняются немедленно. Анна ходит первой; её цель — добиться, чтобы после какого-то её хода хотя бы $k$ стульев были заняты. При каком наибольшем $k$ Анна может добиться цели, как бы ни действовал Боб? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Ия Анна өз мақсатына жете алады.

Егер Анна бір адамды отырғызып содан кейін Боб келіп соның алдына отырғызуы мүмкін,сол кезде Аннаның отырғызған адамы орнынан тұрады ал отырған адам саны 1 болып қала береді.Сосын Анна мақсатына жетуі үшін Бобтың отырғызған адамының жанына емес басқа жерге отырғызады .Сосын Боб келіп өз адамын, екі адамның біреуін таңдап тұрғызып соның алдына отырғызады.Сонда адам саны 2 болады .Осылай жалғаса береді.Және Анна әр адамның арасынан 1 орындық тастап кетеді сонда барлық адам саны 65ке жетеді. Себебі әр адам тақ орындықтарға отырған жағдайда 1,3,5,7,9.........97. 99ыншы орындыққа адам отыра алмайды егер отыратын болса 1нші орындықтағы адам тұрады қалай алған жағдайда да максималды адам саны 65.

демек k=65.

№90 ДБАММГ