Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

1000000-нан үлкен натурал санды 40-қа бөлгенде де, 125-ке бөлгенде де пайда болған қалдықтар бірдей болған. Осы натурал санның жүздік разрядтағы цифры нешеге тең болуы мүмкін? ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $n$ — данное число, $t$ — его остаток от деления на 40 и от деления на 125. Тогда число $n-t$ делится на $40 = 5\cdot 8$ и на 125, то есть делится на 1000. Значит, разность $n-t$ оканчивается тремя нулями. А остаток $t < 40.$ Поэтому в разряде сотен стоит 0.