Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 9 сынып

Коэффициенттері бүтін болатын $P(x)$ көпмүшесі үшін $P(1) = 17,$ $P (m) = m^2 + n^2 -mn,$ $P(n) = mn +1$ теңдіктері орындалады, бұл жерде $m,$ $n$ — бүтiн сандар. Барлық $(m,n)$ бүтін жұптарының табыңыз.

Комментарий/решение

Заметим, что $m-n\mid P(m)-P(n)=(m-n)^2-1\implies |m-n|=1.$ Б.О.О. пусть $m=n+1.$ Дальше просто рассмотрите делимости $m-1\mid P(m)-P(1)$ и $n-1\mid P(n)-P(1).$