Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур дистанционного этапа

В зашифрованном равенстве АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ = ААБ цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Как мы знаем АБ=А*10+Б , следовательно в сумме АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ+АБ=9*(АБ)=90А+9Б

Значит при нужных значения А и Б: 100А+10А+Б=90А+9Б

Составляем уравнение

110А+Б=90А+9Б

110А=90А+8Б

20А=8Б

⅖*А=Б

Переберем все возможные варианты целых значений Б

Если Б>=4,то А>=(4*⅖), А>=10, следовательно перебираем до 4

№1)Б=0

А=0

но число с цифры ноль начинаться не может, противоречие

№2)Б=1

А=2,5

не целое, противоречие

№3)Б=2

А=5

ПРОВЕРКА:

25+25+25+25+25+25+25+25+25=225

Такие цифры нам подходят

№4)Б=3

А=7,5

А не целое, противоречие

Нам подходит только вариант №3

ОТВЕТ:А=2, Б=5, больше вариантов нет

Если к обеим частям равенства прибавить АБ получим 10*АБ=ААБ+АБ

Если Б=5, то Б+Б=10 , 100*А+50=120*А-10, получим А=2