Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур регионального этапа

При каком наибольшем $n$ существует выпуклый $n$-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. При $n = 7.$
Решение. Пример. Правильный семиугольник. У него диагонали ровно двух видов: соединяющие вершины через одну и через две.
   Оценка. Пусть $AB$ — сторона выпуклого многоугольника $M$, у которого есть диагонали только двух возможных длин $x$ и $y$. Тогда для всякой вершины $C$, не смежной с $A$ и $B$, стороны $CA$ и $CB$ треугольника $ACB$ могут равняться только $x$ и $y$. Выбор длин этих сторон однозначно определяет вершину $C$, так как она должна лежать с той же стороны от прямой $AB$, что и весь многоугольник $M$. Но таких комбинаций сторон есть только четыре: $CA$ = $CB = x;$ $CA = CB = y;$ $CA = x,$ $CB = y;$ $CA = y,$ $CB = y.$ При этом из двух первых комбинаций возможна только одна, так как иначе соответствующие вершины $C_1$ и $C_2$ многоугольника $M$ лежали бы на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, что противоречило бы выпуклости $M$: та из вершин $C_1$ и $C_2$, которая ближе к $AB$, оказалась бы внутри треугольника с вершинами в $A$, $B$ и другой из этих вершин. Таким образом, у многоугольника $M$ не больше трёх вершин, не смежных с вершинами $A$ и $B$, то есть всего у него не более 7 вершин.