Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур заключительного этапа

У царя Гиерона есть 13 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, $\ldots,$ 13 кг. Ещё у него есть прибор, в который можно положить один или несколько из имеющихся 13 слитков, и он просигналит, если их суммарный вес равен ровно 46 кг. Архимед, знающий веса всех слитков, хочет написать на двух слитках их веса и за два использования прибора доказать Гиерону, что обе надписи правильны. Как действовать Архимеду? ( К. Кноп )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть Архимед сначала положит в прибор четыре самых тяжёлых слитка. Их суммарный вес — $10+11+12+13 = 46$ кг, и прибор сработает. Других четвёрок слитков общим весом 46 кг у Архимеда нет. Значит, он показал Гиерону, какие четыре слитка — самые тяжёлые. Затем он положит в прибор 9 слитков весами 1, $\ldots$, 8 кг и 10 кг. Прибор снова сработает. Поскольку, как легко видеть, других девяток слитков общим весом 46 кг у Архимеда нет, он показал Гиерону, каков набор из восьми самых лёгких слитков и слитка весом 10 кг. При этом оба раза в прибор клали ровно один слиток в 10 кг, а ни разу не клали ровно один слиток в 9 кг. Поэтому Архимеду достаточно было написать веса на слитках в 9 и 10 кг.