Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год

Келесі шартты қанағаттандыратын барлық натурал $k < 202$ сандарын табыңыз: әр табылған $k$ саны үшін $$\left\{ {\frac{n}{{202}}} \right\} + \left\{ {\frac{{2n}}{{202}}} \right\} + \ldots + \left\{ {\frac{{kn}}{{202}}} \right\} = \frac{k}{2}$$ теңдігі орындалатындай натурал $n$ саны табылады. ($x$ санының бөлшек $\{x\}$ бөлігі деп, $\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз. Бұл жерде $[x]$ саны $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.)

Комментарий/решение

задача угар

Я нашел одно частное решение

$$n=201+202\cdot m,m\in\mathbb{N_0};k=201$$

PS: посмотрел офиц решение. Оказывается, я еще упустил случаи $k=1,100,101$ и соответствующие им $n$

1)Заметим, что

$$201=202-1;\;\;2\cdot 201=2\cdot 202-2;\;\;m\cdot 201=m\cdot 202-m$$

2)В общем виде если $j\in\mathbb{N}$ и $j<202$:

$$\left\{\dfrac{201\cdot j}{202}\right\}=\left\{\dfrac{j\cdot 202-j}{202}\right\}=1-\dfrac{j}{202}$$

3)Суммируем исходную сумму с левой части

$$\left\{ {\frac{n}{{202}}} \right\} + \left\{ {\frac{{2n}}{{202}}} \right\} + \ldots + \left\{ {\frac{{kn}}{{202}}} \right\} =1-\dfrac{1}{202}+1-\dfrac{2}{202}+ \ldots +1-\dfrac{201}{202}$$

4)Ну теперь то с (3) справится любой школьник, так как дроби составляют арифметическую прогрессию с шагом 1/202

$$LHS=1\cdot 201 - \dfrac{1+2+\ldots+201}{202}=201-\dfrac{202\cdot\dfrac{201}{2}}{202}=\dfrac{201}{2}$$

5)С другой стороны $k/2=201/2$

6)Рассмотрим (2), но только вместо $j$ подставим $n=201+202\cdot m,m\in\mathbb{N_0}$. Это не изменит LHS, ведь просто можно "откинуть" целую часть дроби (так как часть слагаемого $202\cdot m$ нацело разделится, и не внесет дробной части в {})

7)Помогите найти другие решения, если они есть. Интуиция подсказывает, что это один такой ответ, больше нет решений.

кстати ребята сегодня др никиты. хочу поздравить тебя с днём рождением и пожелать здоровья и дальнейшее желание решать математику!

Спасибо большое!)

Используем вот последнее примечание про дробную часть для всех дробных частей и получим вот такую интересную картину:$$\frac{k(k+1)n}{202}=k+\sum_{i=1,2...k}^{} \left [ \frac{in}{202} \right ]$$ очевидно что справа все целое, значит и слева должно быть целым и $k(k+1)n$ делится на 202, ну или делится на 101. Есть три случая:

$1)$ $n$ делится на 101.

Значит либо $n=202m+101$ или $n=202m$, разбираем изначальное условие под этим фактом, и неравенством докажем что $k=1$ и $n=202m+101$.

$2)$ $k$ делится на 101, значит $k=101$, тут можно применить $n=51$

$3)$ $k+1$ делится на 101, значит либо $k=100$ либо $k=201$, применяем $n=2$ и $n=1$ соответственно. Ответ: $\boxed{k=1,100,101,201}$

Заметим что для $n \equiv m \pmod{202}, \left\{\dfrac{n}{202} \rigth\}=\dfra{m}{202}$. Ведь $n=202a+m$, значит $[dfrac{n}{202}]=a$. А также заметим что для какого-то $1\leq b\geq 202, bn=202ab+mb$ из этого следует что $n$ можно заменить на его остаток от деления на 202 и ничего не измениться

Тогда можно поставить ограничители для $n$, $1\leq \geq 201$. $$202\left(\left\{\dfrac{n}{202}\right\}+\ldots+\left\{\dfrac{kn}{202}\right\}\right) \equiv n\left(1+\ldots+k\right)\pmod{202}$$, а также это равно $\dfrac{101k}{202}$, значит $$\dfrac{nk(k+1)}{2} \equiv 101k$$

То есть $\dfrac{nk(k+1)}{2}\vdots{101}$, $2$ никак не влияет на делимость на $101$, соответственно $$nk(k+1)\vdots{101}$$

Тогда либо $n=101$, либо $k=100$, либо $k=101$, либо $k=201$

Для $n=101, \{\dfrac{1}{2}\}+\ldots+\{\dfrac{k}{2}\right\}=\dfrac{1}{2}+\ldots=[\dfrac{k}{2}]+\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{k}{2}$ для $k \geq 2$, тогда $k=1$

Ответы: $k=1, 100, 101, 201$

впринципе все верно, но, если ты нашел ответ, тебе нужно найти и пример…

вот ты нашел что $k=1,100,101,201$, значит только для таких $k$ найдутся $n$ что уравнение работает, но тебе нужно привести пример $n$-ок для каждого найденного $k$