26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год

Найти все пары натуральных чисел $(a, b)$ таких, что $11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$

Комментарий/решение

Заметим что $a\geq b+1$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

По $AM\geq GM$ $a^2+ab+b^2\geq 3ab$, тогда $3ab(a-b)\leq a^3-b^3\leq 12ab$, откуда $a\leq b+4$. Остается разобрать случаи когда $a=b+1 , b+2 , b+3 , b+4$

Давайте разберем случай этого мистера ибо у меня вышло то же самое:

$1)$ $b=a-1$

Подставляем под неравенство $a^3-b^3 \geq 11ab$ и получим что $8a+1 \geq 8a^2$, неравенство очевидно неверное при $a>1.$

$2)$ $b=a-2$ и $5a^2-10a-8 \leq 0$ и $a=2$ но это невозможно.

$3)$ $b=a-3$ и $2a^2-6a-27 \leq 0$ и $a=2,3,4,5$ значит $a=4,5$ и соответственно $b=1,2$, но подставив $(4,1)$ это неверно.

$4)$ $b=a-4$ и если подставить это под $12ab \geq a^3-b^3$ то выйдет $0 \geq 64$ что невозможно.

ответ: $(5;2)$

ясно что $a\geq {b+1 }$ и тогда пусть $a= b+n$ $n\geq5$ $a^3-b^3 = (b+n)^3-b^3=(b^2+n^2+2bn)(b+n)-b^3=2nb^2+bn^2+n^3+nb^2+2bn^2=3n^2b+3b^2n+n^3>12b^2+12bn$т.к. $n\geq5$ то $3n^2b>12b^2$ и $3n^2b>12bn$ а по условию $12ab\geq$ так что обязательно $a\leq b+4$

откуда остается разобрать $4$ варианта

$a=b+1$ тогда получается что невозможно

$a=b+2$ тогда получается ответ только при $a=2,1$но тогда $b$ не будет натуральным что невозможно

$a=b+3$ тогда ответы только $a=2,3,4,5$ и значит две пары $a=4,b=1$,$a=5,b=2$ подставлем первую пару не получается если вторую то получается

$a=b+4$ тогда невозможно т.к. $64>0$ а там говорится о обратном

Единственные ответы $(a;b)=5;2$

чел, над тобой идентичное решение

Я знаю просто расписал по другому доказательство $a\leq {b+4}$

гений, какая разница

$P.S$ Тебе не стыдно накручивать лайки? Ты стоишь выше $Matov$'а, который занимался математикой раньше чем ты родился.

$P.S $ я говорил каким то людям не надо накручивать но им было пофиг (хотя я их просил что не надо ,я не хочу ) так что если мне админ отнимет $230$ лайков мне будет пофиг так как я знаю что мне специально накрутили кто-то не по моей воле

Уважаемый Мопсичек можете пожалуста не докапыватся до Алихан Серика и не оскорблять Астана Бил просто вам реально делать нечего

Я с вами соглашусь, уважаемый, MironNemiron.