Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.

Вычислите сумму: $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{3}{2 \cdot 5}+\frac{5}{5 \cdot 10}+\frac{7}{10 \cdot 17}+\cdots+\frac{101}{2501 \cdot 2602}.$

Комментарий/решение

Бөлшектерді келесідей жазамыз:

$\frac{1}{1\cdot 2}=1-\frac{1}{2};$

$\frac{3}{2\cdot 5}=\frac{1}{2}-\frac{1}{5};$

$\frac{5}{5\cdot 10}=\frac{1}{5}-\frac{1}{10};$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots $

$\frac{101}{2501\cdot 2602}=\frac{1}{2501}-\frac{1}{2602}.$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{2501}-\frac{1}{2602}=1-\frac{1}{2602}=\frac{2601}{2602}.$