Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.


Задача №1.  Вычислите сумму: $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{3}{2 \cdot 5}+\frac{5}{5 \cdot 10}+\frac{7}{10 \cdot 17}+\cdots+\frac{101}{2501 \cdot 2602}.$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CD$. Известно, что $\angle A = 2\angle B$, $\angle C= 2(\angle A + \angle B)$. Докажите, что $AB=BC+CD$.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Пусть $x^2 + y^2 = 1$ ($x, y \in \mathbb{R}$, $x > 0$, $y > 0$). Найдите наименьшее значения выражения $A=\frac{x + y + 1}{xy}$.
комментарий/решение
Задача №4.  На шахматной доске $8 \times 8$ расставлены 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что найдутся такие две пары ладей, что расстояния между ладьями в каждой паре одинаковы. (Расстоянием между двумя ладьями называется расстояние между центрами клеток, в которых они находятся. Напоминаем, что ладья бьёт по вертикали или горизонтали).
комментарий/решение