Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Известно, что $2CD = BD$. Пусть $K \ne A$ такая точка на описанной окружности треугольника $ABC$, что $AK \parallel BC$. Пусть $S$ — середина $AB$. Докажите, что прямая $SK$ перпендикулярна прямой $BC$.

Комментарий/решение

Пусть $KS \cap BC=T.$

Т.к $BKAC$ вписанный еще $AK \parallel BC \Rightarrow BKAC$ равнобокая трапеция и $AC=KB.$

Т.к $AK \parallel BC \Rightarrow \triangle BST \sim \triangle ASK, \dfrac{AS}{BS}=1 \Rightarrow BT=AK, ST=SK.$

Заметим что $BKAT$ параллелограмм т.к $S$ середина диоганали$ AB$ и $KT \Rightarrow KB=AT=AC \Rightarrow \triangle ATC $равнобедренный , $AD$ высота и медиана $CD=DT$, из условии выходит что $BT=TD$, $TS$ средняя линия $\triangle BAD \Rightarrow TS \parallel AD \Rightarrow \angle KTD=90$ ч.т.д

Пусть $T$ − основание перпендикуляра из $K$ на $BC$. Заметим, что $KACB$ - равнобокая трапеция. Тогда в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к $BC$, получим, что $BT=CD$. Так как $BD=BT+TD=2CD$, то получаем, что $TD=CD=BD$. Следовательно, $T$ - середина $BD$ и как следствие $ST$ будет перпендикулярна $BC$. Но тогда $K,S,T$ лежат на одной прямой, что завершает доказательство.

Давайте рассмотрим данный остроугольный треугольник \(ABC\) и проведём высоту из вершины \(A\) на гипотенузу \(BC\), обозначим её как \(AD\). Также, пусть \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\), а \(M\) — середина отрезка \(BC\).

Из условия задачи, точка \(P\) находится на описанной окружности, и угол \(\angle BPC = 90^\circ\). Также, по условию, \(AP\) — диаметр окружности, а следовательно, угол \(\angle APO = 90^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BPC\). Мы знаем, что угол \(\angle BPC\) прямой, и угол \(\angle APO\) также прямой. Следовательно, угол \(\angle BPC\) равен углу \(\angle APO\).

Так как \(\angle BPC = \angle APO\) и углы, соответственно равные, имеют равные косинусы, то \(\cos(\angle BPC) = \cos(\angle APO)\).

Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(AOP\). У нас есть следующие соотношения:

\[ \cos(\angle BAC) = \cos(\angle BPC) \]

и

\[ \cos(\angle BAC) = \cos(\angle APO) \].

Таким образом, \(\cos(\angle BPC) = \cos(\angle APO) = \cos(\angle BAC)\). Это означает, что отрезок \(AO\) перпендикулярен отрезку \(BC\), так как \(\cos(\angle BAC) = \frac{AO}{AB}\), и угол \(\angle BAC\) острый (по условию треугольника \(ABC\)).

Итак, мы доказали, что прямая \(AO\) (продолжение высоты \(AD\)) перпендикулярна прямой \(BC\).