Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Задача №1.  В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Известно, что $2CD = BD$. Пусть $K \ne A$ такая точка на описанной окружности треугольника $ABC$, что $AK \parallel BC$. Пусть $S$ — середина $AB$. Докажите, что прямая $SK$ перпендикулярна прямой $BC$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Арлан и Арман играют в игру. У них есть веревка длины 2022. Каждым ходом они берут кусочек веревки, и разрезают его на две ненулевые части. Побеждает тот, кто после своего хода сможет выбрать 4 кусочки веревки так, что их длины образуют арифметическую прогрессию. Если начинает Арлан, кто победит при правильной игре?
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Пусть $A = 2 + 2\sqrt {44{x^2} + 1}$, где $x$ — целое число. Докажите, что если $A$ целое число то тогда $A$ квадрат целого числа.
комментарий/решение(11)

---

Задача №4.  Существуют ли различные натуральные числа $a,b,c$ что число ${a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}$ делится на ${a^{n}} + {b^{n}} + {c^{n}}$ для бесконечно многих натуральных $n$?
комментарий/решение(7)

---