7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

$O$ нүктесі — теңбүйірлі $ABC$ ($AB=AC$) үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $N$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы, ал $M$ нүктесі $N$ нүктесіне $AC$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. $T$ нүктесі $ANBT$ — тіктөртбұрыш болатындай нүкте. $\angle OMT = \displaystyle\frac{1}{2} \angle BAC $ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $AC \cap MN=F$ , $ TM \cap AC=K$

Утверждение 1: $OM=OT$

Док-во: $OA=OC, TA=BN=NC$ Т.к $CF$ серпер $NC=CM \Rightarrow CM=TA$ . $\angle OCA=\angle OAC=\angle FNC= 90- \angle FCM \Rightarrow \angle OCM=90 \Rightarrow \triangle TAO \sim \triangle MCO \Rightarrow OM=OT$

Утверждение 2:$TK=KM$

Док-во:Пусть точка $S$ на продолжении $CA$ что $TA=TS$, $\angle TSC=\angle MCS \Rightarrow TS \parallel MC$ ещё мы знаем что $TS=CM \Rightarrow TSMC$ Параллелограмм $\Rightarrow SK=KC, TK=KM.$

В $\triangle OMT , OK$ медиана т.к $ OM=OT \Rightarrow OK$ высота $\Rightarrow \angle OKM=90, \angle OCM=90 \Rightarrow O,K,M,C$ лежит на одной окружности $\Rightarrow \angle OMT= \angle OCK$ с другой стороны $\angle OCK= \angle OAC=\dfrac{1}{2} \angle BAC \Rightarrow \dfrac{1}{2} \angle BAC=\angle OMT $ ч.т.д