8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$. Точка $H$ — его ортоцентр. Точка $E$ — середина стороны $AC$, точка $D$ на стороне $BC$ такова, что $3CD=BC$. Докажите, что $BE\perp HD$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть $AH \cap BC=K$ и $HD \cap BE=T$
Так как $ABC$ равнобедренный треугольник $BK=CK$ из условии $CD=2KD$
Возьмём точку $S$ на $BK$ что $KD=KS$ значит $BS=2SK$
Псть $BE \cap AK=M$ так как $M$ пересечение медиан $\Rightarrow AM=2MK$
$\frac{AM}{MK}=\frac{BS}{SK}$ по фалесу $AB \parallel MS$
$\angle BAH=\angle BCH$ так как $AH$ и $BH$ высоты и $\angle BCH=\angle SBH$ так как $KH$ серпер
$\angle BAH=\angle SMH$ так как $AB \parallel MS$ $\Rightarrow \angle SMH=\angle SBH \Rightarrow BSHM$ вписанный значит $\angle BMH=180-\angle BSH=\angle HSD$
Так как $HK$ серпер $\angle HSD=\angle HDS$ значит $\angle BMH=\angle HDS \Rightarrow$
$MTCD$ вписанный значит $\angle MKD=\angle MTD=90$ что и требовалось доказать
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.