8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

$ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $H$ нүктесі $\triangle ABC$-ның биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $E$ нүктесі $AC$-ның ортасы, ал $D$ нүктесі $BC$ қабырғасында $3CD=BC$ болатындай орналасқан нүкте. $BE\perp HD$ екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Пусть $AH \cap BC=K$ и $HD \cap BE=T$

Так как $ABC$ равнобедренный треугольник $BK=CK$ из условии $CD=2KD$

Возьмём точку $S$ на $BK$ что $KD=KS$ значит $BS=2SK$

Псть $BE \cap AK=M$ так как $M$ пересечение медиан $\Rightarrow AM=2MK$

$\frac{AM}{MK}=\frac{BS}{SK}$ по фалесу $AB \parallel MS$

$\angle BAH=\angle BCH$ так как $AH$ и $BH$ высоты и $\angle BCH=\angle SBH$ так как $KH$ серпер

$\angle BAH=\angle SMH$ так как $AB \parallel MS$ $\Rightarrow \angle SMH=\angle SBH \Rightarrow BSHM$ вписанный значит $\angle BMH=180-\angle BSH=\angle HSD$

Так как $HK$ серпер $\angle HSD=\angle HDS$ значит $\angle BMH=\angle HDS \Rightarrow$

$MTCD$ вписанный значит $\angle MKD=\angle MTD=90$ что и требовалось доказать