8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

Дөңес $ABCDE$ бесбұрышының $CD$ қабырғасынан кез келген $X$ нүктесі алынған. $K$, $L$ нүктелері $AX$ кесіндісінде $AB=BK$ және $AE=EL$ болатындай орналасқан, $CXK$ және $DXL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $Y$ нүктесінде қиылысады. $X$ нүктесінің $CD$ қабырғасының қай жерінен алынғанына қарамастан, осылай анықталған барлық $XY$ түзулері бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін, немесе барлығы бір-біріне параллель болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $l$ прямая на которой лежат точки $C,D$ пусть $T,G$ точки произвольные точки вне $l$, пусть $X$ произвольная точка на $l$, опишем окружности $\omega_{1}, \omega_{2}$ около треугольников $TDX,CGX$ пусть они пересекаются в $Y$ тогда, при передвижений точки $X$ по $l$ получается $\angle TYX, \ \angle CYG$ постоянны $(1)$, опишем окружность $\omega_{3}$ около $TYG$, пусть $H \in \omega \cap XY$ тогда учитывая $(1)$ все такие прямые $XY$ пересекаются в $H$.

Пусть $A$ произвольная точка вне $l$ пусть $I \in AH \cap l$, $ F \in \omega_{3} \cap AH$ и $L \in AX \cap \omega_{1}, \ K \in AX \cap \omega_{2}$ тогда $\angle TLX = \angle TYX = \angle TYH = \angle TFH$ то есть $TLFA$ вписанный, аналогично $AKFG$, пусть $E,B$ центры окружностей $AFLT, AKFG$ получается $ABCDE$ фиксированный пятиугольник, где $AB=BK, \ AE=EL$(как радиусы) откуда $H$ и есть фиксированная точка.