Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа

Делители натурального числа $n$ (включая $n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию: $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$. Разности $u_1 = d_2-d_1$, $u_2 = d_3-d_2$, $\ldots$, $u_{k-1} = d_k-d_{k-1}$ оказались такими, что $u_2-u_1 = u_3-u_2 = \ldots = u_{k-1}-u_{k-2}$. Найдите все такие $n$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 10.
Решение. Пусть $n$ нечётно. Тогда $u_{k-1} = d_k-d_{k-1} \ge n-n/3 = 2n/3$. При этом $u_{k-2} = d_{k-1}-d_{k-2} < d_{k-1} \le n/3$, поэтому $u_{k-1}-u_{k-2} > n/3$, но $u_{k-1}-u_{k-2} = u_{k-2}-u_{k-3} < u_{k-2} < n/3$ — противоречие. В случае чётного $n$ получится $u_{k-1} = d_k-d_{k-1} = n/2$, $u_{k-2} = d_{k-1}-d_{k-2} = n/2-d_{k-2}$, поэтому $u_{k-1}-u_{k-2} = d_{k-2}$. Но $u_2-u_1 = d_3-2d_2+d_1 = d_3-3$, что может быть равно $d_{k-2}$ только при $k = 4$. Тогда $d_{k-2} = d_2 = 2$, $d_3 = n/2 = d_2+3 = 5$ и $n = 10$.

$$u_2-u_1=d_1+d_3-2*d_2$$

$$u_3-u_2=d_2+d_4-2*d_3$$

$$...$$

$$u_{k-1}-u_{k-2}=d_{k-2}+d_{k}-2*d_{k-1}$$

$$(u_{k-1}-u_{k-2})+(u_{k-2}-u_{k-3})+...+(u_3-u_2)+(u_2-u_1)=u_{k-1}-u_1=d_k+d_1-d_2-d_{k-1}$$

Но так же,

$$(u_{k-1}-u_{k-2})+(u_{k-2}-u_{k-3})+...+(u_3-u_2)+(u_2-u_1)=d_1+d_2+...+d_{k}-2(d_2+d_3+...+d_{k-1})=d_1+d_k-d_2-d_3-...-d_{k-1}$$

Приравниваем выражения:

$$d_k+d_1-d_2-d_{k-1}=d_1+d_k-d_2-d_3-...-d_{k-1}$$

$$d_3+...+d_{k-2}=0$$

Противоречие так как $1 < d_3 < \ldots < d_{k-2}$

Значит единственные остатки числа n: $1,d_2,d_3,n$

$$u_2-u_1=u_3-u_2$$

$$1+d_3-2*d_2=d_2+n-2*d_3$$

$$n-1=3*d_3-3*d_2$$

$$n=d_2*d_3$$

$d_2 и d_3$ - простые числа

при $d_2\geq3:$

$$d_2*d_3-1\geq3*d_3-1$$

$$3*d_3-3*d_2\leq3*d_3-9$$

$$3*d_3-1>3*d_3-9$$

Противоречие.

при $d_2=2:$

$$2*d_3-1=3*d_3-3*2$$

$$d_3=5$$

остатки n: 1,2,5,10

Ответ: n = 10

В случае чётного n

получится

uk-1=dk-(dk-1)=n/2. Но u²-u¹=d³-2d²+d¹=d³-3, что может бытьравно как dk-2 только если k=4 . Тогда получится что dk-2=d²=2, d³=n/2=d²+3=5 и ответ n=10