қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа
Задача №1. На дискотеку пришли 42 человека: мальчики и девочки. Каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх. Сколько мальчиков было на танцах?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №2. Запишите четыре числа (не обязательно целых), среди которых нет одинаковых, чтобы выполнялось такое условие: если число $x$ есть среди записанных, то хотя бы одно из чисел $x-1$ или $6x-1$ тоже есть среди записанных.
(
И. Рубанов,
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Внутри стороны $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что прямая $AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой $AE$?
(
И. Рубанов,
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Петя и Вася играют в такую игру. Вначале в каждой из 2022 коробок лежит по одной спичке. За один ход можно переложить все спички из любой непустой коробки в любую другую непустую коробку. Ходят по очереди, начинает Петя. Побеждает тот, после хода которого в какой-то коробке впервые окажется не меньше половины всех спичек. Кто победит при правильной игре?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Задача №5. Делители натурального числа $n$ (включая $n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию: $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$. Разности $u_1 = d_2-d_1$, $u_2 = d_3-d_2$, $\ldots$, $u_{k-1} = d_k-d_{k-1}$ оказались такими, что $u_2-u_1 = u_3-u_2 = \ldots = u_{k-1}-u_{k-2}$. Найдите все такие $n$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)