Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа

Внутри стороны $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что прямая $AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой $AE$? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Вершина $B$.
Решение. Опустим перпендикуляры $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ на прямую $AE$. Тогда $$DD_1\cdot AE = 2S(ADE) < 2S(ADCE) = 2S(ABE) = BB_1\cdot AE,$$ откуда $DD_1 < BB_1$. Аналогично из неравенства $2S(ACE) < 2S(ADCE)$ получаем, что $CC_1 < BB_1$. Поскольку расстояние от точки $A$ до прямой $AE$ равно 0, получаем, что вершина $B$ удалена от прямой $AE$ больше, чем все остальные вершины четырехугольника $ABCD$.

Заметим что BE>EC так как S(ABE)>S(AEC) и S(AEB)=AE*BE*sin(AEB) . S(AEC)=AE*EC*sin(180- AEB) отсюда получаем BE>EC.Заметим подобие треугольников BB1E и ECC1 тогда BB1>CC1 . Заметим S(ABE)>S(ADE) тогда обе высоты опираются на AE по формулеS=ah/2 получаем что BB1>DD1 от A расстояние равно 0 (BB1;CC1;DD1 высоты)

Опусти перпендикуляры ВВ¹,СС¹,DD¹ на прямую АЕ. У нас получется уравнение

DD¹•AE=2S•(ADE) < 2S•(ADCE)=2S•(ABE)=BB¹•AE,

если вы спросите откуда DD¹ <BB¹. Аналогично из неравенства 2S•(ACE)<2S•(ADCE) получаем что СС¹<ВВ¹. Поскольку расстояние от точки А до прямойАЕ равно 0, мың получаем ответ что вершина В удалена от прямой АЕ больше.