Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа

Петя и Вася играют в такую игру. Вначале в каждой из 2022 коробок лежит по одной спичке. За один ход можно переложить все спички из любой непустой коробки в любую другую непустую коробку. Ходят по очереди, начинает Петя. Побеждает тот, после хода которого в какой-то коробке впервые окажется не меньше половины всех спичек. Кто победит при правильной игре? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Вася.
Решение. Заметим, что неважно, перекладывать спички из коробки А в коробку Б или из Б в А: в обоих случаях одна из коробок становится пустой, а в другой оказываются все спички, лежавшие в обеих коробках. Первым ходом Петя добавляет одну спичку в какую-то коробку. Отметим эту коробку и будем считать, что в дальнейшем если эта коробка участвует в перекладывании, то спички добавляются в неё. Вася своим первым ходом также добавляет спичку в отмеченную коробку. Далее Вася играет так: если Петя своим очередным ходом добавляет спичку в отмеченную коробку, тоже добавляет туда спичку, а если Петя создал коробку с двумя спичками, перекладывает в отмеченную коробку обе эти спички. При такой игре после $k$-го хода Васи в отмеченной коробке будет $2k+1$ спичек, а в остальных — не больше, чем по одной спичке, а после $k$-го хода Пети в отмеченной коробке будет $2k$ или $2k-1$ спичек, а в остальных — не больше, чем по две спички. Тогда после 505-го хода Васи в отмеченной коробке окажется 1011 спичек, и он выиграет, так как до этого ни в какой коробке не лежало больше, чем $2\cdot 505 = 1010$ спичек.

Ответ:Вася

Поэтому что заметим, что неважно, перекладывать спички из коробки А в коробку Б или из Б в А: в обоих случаях одна из коробок становится пустой, а в другой оказываются все спички, лежавшие в обеих коробках. Первым ходом Петя добавляет одну спичку в какую-то коробку. Отметим эту коробку и будем считать, что в дальнейшем если эта коробка участвует в перекладывании, то спички добавляются в неё. Вася своим первым ходом также добавляет спичку в отмеченную коробку.

При такой игре после

k- го хода Васи в отмеченной коробке будет 2k+1спичек, а в остальных — не больше, чем по одной спичке, а после

-го хода Пети в отмеченной коробке будет 2k или 2k-1спичек, а в остальных — не больше, чем по две спички. Тогда после 505-го хода Васи в отмеченной коробке окажется 1011 спичек, и он выиграет, так как до этого ни в какой коробке не лежало больше, чем 2•505=1010 спичек.

Уважаемый isa123,но ваше решение точь в точь как решение администратора сверху.Прошу заметить.

И что?

Просто хотел напомнить.Я не виню его в этом(у меня тоже были такие решение с повторениеми).

Признались, и хорошо.

А сколько их было?

Точно меньше чем у тебя

Да да да

Убедись по любому меньше тебя

Не сливайтесь

Nebayan который указывал что BekzhanMoldabekov пишет решение как предыдущие

Я не придераюсь к этому просто написал