Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа

В белом клетчатом квадрате размером $10\times 10$ клеток закрасили черным 84 клетки. Какое наименьшее количество «уголков» из трех черных клеток могло при этом образоваться? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 132.
Решение. На бесконечной клетчатой плоскости каждая клетка, как легко проверить, принадлежит 12 различным «уголкам». Заметим, что каждый «уголок» получается удалением одной клетки из некоторого квадрата $2\times 2$. В клетчатом квадрате $10\times 10$ содержится 81 клетчатый квадрат $2\times 2$: по 9 квадратов в каждой горизонтальной полосе шириной 2. Из каждого такого квадрата можно получить удалением одной клетки четыре «уголка». Стало быть, всего в квадрате $10\times 10$ содержится $81\cdot 4 = 324$ «уголка». Покрасим весь квадрат $10\times 10$ в чёрный цвет, а затем перекрасим 16 клеток в белый, чтобы оставить 84 чёрных клетки. При этом перекрашивание каждой клетки уменьшит количество чёрных «уголков» не больше, чем на 12, поэтому в итоге чёрных «уголков» останется не меньше, чем $324-12\cdot 16 = 132$. Осталось заметить, что если мы перекрасим в белый цвет 16 клеток на пересечениях столбцов с номерами 2, 4, 6, 8 со строками с такими же номерами, то каждая из этих клеток уничтожит ровно 12 чёрных «уголков», и их останется ровно 132.