Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 9 сынып

$n$ бүтiн саннан тұратын жиын берiлген. «Секiрiс» деп бiз келесi операцияны айтамыз: жиыннан $k$ сан тандалып және әр тандалған $a$ санына $b \cdot k$ санын қосуға болады, бұл жердегi $b$ кез келген бүтiн сан (әр $a$ үшiн өзiнiң $b$ саны тандалынады). 3 «секiрiс» жасап жиындағы барлық санды нөлге айналдыруға болатынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

Очень классная задача.

Сперва возьмем одно число и превратим его в $n$. Возьмем $n-1$ остальных чисел и пусть у них есть остатки по $n$ как: $a_{1},a_{2},…,a_{n-1}$, прибавим к каждому число $n-1$ столько раз сколько у этого числа остаток по $n$. Получили что все числа теперь делятся на $n$, выберем все числа и отнимем $n$ столько раз что бы все числа стали 0.