Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Пусть a>=b>=c

Пусть c|a

(c,a)=c => b|a (работает и в обратную)

a+(b,c)=b+c

Раз уж a>=bc, то

bc+(b,c)<=b+c

Ответы: с=1, a=b

Забудем про первоначальную общность и введем новую:

Пусть (c, a)=d

(b, c)=m

(b, a)=n

Пусть max(d, m, n)=d

Тогда a+m=b+d=c+n

mod d

m=n, а иначе разность m-n не поделится на d

Раз уж (b,c)=(b,a), то можно спуститься, пока она не станет единичкой

a=c, b+c=c+1, b=1, по идее анологично изначальному ответу