Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Докажите, что для любых действительных $a$, $b$ справедливо неравенство $a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512$.

Комментарий/решение

Подсказка: не пытаться добить до адекватного неравенства))

Промежуток большой

хорошо сказано,

решение: Рассмотрите дискриминант уравнения через $a$, он всегда не положителен ибо равен $-(b-2023)^2$ (вроде), значит эта функция либо всегда положительная либо всегда отрицательная и может быть равно 0 в какой то точке. так как вначале коэффициент у $a^2$ положителен, функция всегда положительна, что и требовалось доказать.

где ест официальное решение ?

это и есть официальное решение

Задача 3. Докажите, что для любых действительных а, b справедливо неравенство

а2+141аb+5476b2≥ 5а+1364b-512

Шешуі: 1) Алдымен а мен b-ның қандай мәндерінде теңдік орындалатынын анықтайық

а2+141аb+5476b2 = 5а+1364b-512

b=1, а2 +136а+4624 = ( а+68)2

( а+68)2 =0 ⇒ а = -68, яғни а = -68, b = 1 болғанда теңдік орындалады.

2) Берілген теңсіздікті түрлендіріп жазайық.

( а-74b)2 +512>5а + 1364b – 289аb. Егер а – 74b = 0 болса,

онда min ((а-74b)2 +512) = 512

3) а = 74b. 10693b2 – 867b + 256>0

өйткені Д <0

b = 1/74 а, 289а2 – 1734а + 37888>0

өйткені Д <0

Қорытынды : а ≠ 74b, b ≠ 1/74 а жағдайда ( а-74b)2 >0, демек а мен b- ның кез-келген мәндерінде берілген теңсіздік орындалады. д.к.о.е.

Амангелді Садыков

Сол жағына өткізсек: $a^2-141ab+5476b^2-5a-1364b+512\geq 0.$

$z=x^2-141xy+5476y^2-5x-1364y+512$ функциясын қарастырайық.

Осы функцияның минимумын табайық:

Ол үшін дербес туындыларды табамыз:

$z_{x}=2x+141y-5, z_{y}=10952y+141x-1364.$

Стационар нүктелерді табу үшін туындыларды нөлге теңеп теңдеулер жүйесін шешу керек.

$\left\{ \begin{gathered}2x + 141y-5= 0,\\141x+10952y -1364 =0. \\\end{gathered} \right.$

Теңдеулер жүйесінің шешімі: $x=-68, y=1.$ Онда $M(-68;1)$.

Екінші ретті дербес туындыларды есептейік:

$A=z_{xx}(M), B=z_{xy}(M), C=z_{yy}(M).$

$A=z_{xx}(M)=2, B=z_{xx}(M)=141, C=z_{yy}(M)=10952.$

Егер $AC-B^2>0$ болса $M$ нүктесінде экстремум болады және егер $A>0$ болса минимум, $A<0$ болса онда максимум болады.

$AC-B^2=2\cdot 10952-141^2=2023>0$ және $A=2>0.$ Онда $M$ нүктесі минимум болады. Орнына қойып есептесек: $z_{min}=z(M)=(-68)^2-141\cdot 1\cdot 68+5476\cdot 1^2+5\cdot68-1364\cdot1+512=0.$

Онда $a^2-141ab+5476b^2-5a-1364b+512\geq 0$ теңсіздігі орындалады және теңдік $a=-68, b=1$ болғанда болады.

$a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512$

$\iff 4(a^2 + 141ab + 5476b^2) - 4(5a + 1364b - 512)\ge 0$

$\iff (2 a + 141 b - 5)^2 + 2023(b-1)^2\ge 0$

вот блииин, а оказывается просто надо было собрать вот в такие легчайшие и очевидные квадраты!