Областная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Докажите, что для любых положительных $a, b, c, d$ справедливо неравенство $$\frac{1}{a+2 b+3 c+4 d}+\frac{1}{b+2 c+3 d+4 a}+\frac{1}{c+2 d+3 a+4 b}+\frac{1}{d+2 a+3 b+4 c} \leqslant \frac{1}{10 a}+\frac{1}{10 b}+\frac{1}{10 c}+\frac{1}{10 d}.$$

Комментарий/решение

По дробному КБШ, $1/a+1/b+1/b+… \geq 100/(a+2b+3c+4d)$ и аналогично.

Умножим обе части на 10 то имеем:

$\sum \limits_{cyc} \frac{10}{a+2b+3c+4d}$$\leq$$\sum \limits_{cyc} \frac{1}{a}$

Распишем первое слагаемое как:

$\frac{10}{a+b+b+c+c+c+d+d+d+d}$

После чего применим АМ HM

$$\sum \limits_{cyc} \frac{10}{a+2b+3c+4d}\leq\sum \limits_{cyc}\frac{1/a+2/b+3/c+4/d}{10}\leq\sum \limits_{cyc} \frac{1}{a}$$

По неравенству Коши:

$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} + \dfrac{4}{d} = \dfrac{1^2}{a} + \dfrac{2^2}{2b} + \dfrac{3^2}{3c} + \dfrac{4^2}{4d} \geq \dfrac{ (1 + 2 + 3 + 4)^2}{ a + 2b + 3c + 4d} = \dfrac{100}{ a + 2b + 3c + 4d}$

аналогично получим:

$ \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} + \dfrac{3}{d} + \dfrac{4}{a} \geq \dfrac{100}{b + 2c + 3d + 4a}$

$ \dfrac{1}{c} + \dfrac{2}{d} + \dfrac{3}{a} + \dfrac{4}{b} \geq \dfrac{100}{ c + 2d + 3a + 4b}$

$ \dfrac{1}{d} + \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{b} + \dfrac{4}{c} \geq \dfrac{100}{ d + 2a + 3b + 4c}$

Сложив полученные неравенства, получим что и требовалось доказать