қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дан остроугольный треугольник $A B C, H$ — ортоцентр. Прямая $A H$ пересекает $B C$ и описанную окружность $A B C$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Аналогично определим точки $B_1, B_2$ и $C_1, C_2$. Прямые $A_2 B_1$ и $A_2 C_1$ пересекают описанную окружность $A B C$ вторично в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $P$ точка пересечения описанной окружности треугольника $B_1 B_2 X$ с $A C$ где $\left(P \neq B_1\right)$ и $Q$ точка пересечения описанной окружности треугольника $C_1 C_2 Y$ с $A B\left(Q \neq C_1\right)$. Докажите, что $P Q \parallel B C$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. В длинном узком коридоре постелено несколько дорожек(все дорожки параллельны коридору и можно считать, что ширина каждой дорожки равна ширине коридора). Докажите, что можно одним гвоздём прибить все эти дорожки к полу, если известно, что любые две дорожки пересекаются.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Задача №3. Докажите, что для любых положительных $a, b, c, d$ справедливо неравенство $$\frac{1}{a+2 b+3 c+4 d}+\frac{1}{b+2 c+3 d+4 a}+\frac{1}{c+2 d+3 a+4 b}+\frac{1}{d+2 a+3 b+4 c} \leqslant \frac{1}{10 a}+\frac{1}{10 b}+\frac{1}{10 c}+\frac{1}{10 d}.$$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. На сторонах $BC,$ $CA,$ $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $K,L,M$, а внутри треугольника выбрана точка $P$ так, что $PL \parallel BC,$ $PM \parallel CA,$ $PK \parallel AB$. Может ли оказаться, что все три трапеции $AMPL,$ $BKPM$, $CLPK$ — описанные?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Для положительных чисел $a,b,c,a_1,b_1,c_1$ таких, что $2 \le \frac{x}{x_1} \le 18$ $(x=a,b,c)$, докажите неравенство $$(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)\le \frac{25}{9}(aa_1+bb_1+cc_1)^2.$$
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №6. Найти все натуральные $a, b, c$ такие, что $[a, b, c]=\frac{a b+b c+c a}{5}.$ Здесь $[x, y]$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)