Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

На сторонах $AC$, $BA$, $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $K$, $L$, $M$ так, что $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$. Отрезки $AM$ и $CL$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точки $L$, $B$, $M$, $P$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Если $ \angle AKL = \angle ABC$ и $ \angle CKM = \angle ABC$ то $\angle ALK = \angle ACB$ и $ \angle KMC = \angle BAC$ . То есть четырехугольники $BLKC , ABMK$ вписанные , тогда $\angle MAC + \angle ACL = \angle ABC $ , откуда и следует что $BMPL$ вписанный.