Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AC$, $BA$, $BC$ қабырғаларынан $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$ болатындай сәйкесінше $K$, $L$, $M$ нүктелері алынған. $AM$ және $CL$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылысады. $L$, $B$, $M$, $P$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Если $ \angle AKL = \angle ABC$ и $ \angle CKM = \angle ABC$ то $\angle ALK = \angle ACB$ и $ \angle KMC = \angle BAC$ . То есть четырехугольники $BLKC , ABMK$ вписанные , тогда $\angle MAC + \angle ACL = \angle ABC $ , откуда и следует что $BMPL$ вписанный.