Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год

Диагонали $AC$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ пересекаются в точке $L$. Найдите отношение площади треугольника $ALB$ к площади шестиугольника.

Комментарий/решение

У нас выходит что четырёхугольник ABCF равнобокий трапеция так как у правильного шестиугольника стороны равняются 120° и когда мы делим его по полам выходит что $ \angle $ BCF=60° так же с $ \angle $ AFC=60°. Следовательно с этого мы знаем что $BL=AL$ и $ \angle $ BAC=30° значит так же $ \angle $ ABL=30°. Обозначим стороны шестиугольника 2x$ \sqrt{3} $ тоесть (S)ABL=

x²$\sqrt{3} $ и у правильно шестиугольника

(S)(3$\sqrt{3} $ × 12x²)/2=18$\sqrt{3} $x²

тоесть x²$\sqrt{3} $ : 18$\sqrt{3} $x²=1 : 18