Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год

Найдите все натуральные пары чисел $(x,y)$, для которых выполнено равенство $x^3=y^2+1$.

Комментарий/решение

$x^3 = y^2 + 1$ прибавляем 8 к обеим сторонам

$x^3 + 8 = y^2 + 9$ $\Rightarrow$ $ (x+2)(x^2-2x+4) = y^2 + 9$

Рассмотрим по мод 8,

1) $x$ - четное, $\Rightarrow$ $x^3 \equiv 0 (mod 8)$ $\Rightarrow$ $y^2 \equiv 7 (mod 8)$ $\emptyset$

Значит $x$ - неч., $x \equiv 1, 3 (mod 4)$ $\Rightarrow$

Если $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow x^3 \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 + 1 \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 2 (mod 4)$ $ \emptyset$

$x \equiv 1 (mod 4) \Rightarrow y^2+9 = (x+1)(x^2-2x+4) \Rightarrow y^2 + 9 $ $\vdots$ $x^2 - 2x + 4 \Rightarrow x^2 - 2x + 4 \equiv 3 (mod 4)$

Теорема Жирара гласит что если $a^2 + b^2$ $\vdots$ $p = 4k + 3$, $p \in P$, тогда $a, b $ $\vdots$ $p$

Лемма: Пусть A натуральное число, и $A \equiv 3$ (mod 4), тогда всегда найдется простой делитель p числа A такой что $p \equiv 3$ (mod 4)

Доказание Леммы: Разложим A на простые делители, тогда $A = p_1^d1*p_2^d2*\cdots*p_n^dn \equiv 3$ (mod 4), т.е. есть хотябы 1 p который $\equiv 3$ (mod 4)\

Используя лемму получаем $\rightarrow y^2 + 9 = y^2 + 3^2$ $\vdots$ $x^2 - 2x + 4 = 4k+3$ $\vdots$ $p = 4n + 3$ $\Rightarrow y^2$ $\vdots$ $p$ и $9$ $\vdots$ $p$, $p=3$ $\emptyset$ Ответов нету

Можно было просто по mod 7